A) Necessity of mathematical calculations to assess 3-Wheeler stability:
As explained on web page Ordering 3-Wheelers, 3-Wheelers may present a risk of rolling over in curves. At a minimum, they should thus be checked to make sure that they offer at least a positive margin of safety against rollover.
Here on this actual page are presented the physical principles and the logic behind the mathematical calculations of safety margins against rollover, applicable to the two following pages:

A first following page presents the mathematical calculations of safety margins against rollover, in the case of 3-Wheelers with two front driving-steering wheels.
Another following page presents the mathematical calculations of safety margins against rollover, in the case of 3-Wheelers with two front wheels but with a rear engine driving the rear wheel.
And a last following page analyses the results and summarizes the safety margin calculations.


SECTION UNDER CONSTRUCTION.
This section has not yet been completed in English. The reader may consider the old French version that follows here below:

B) Seuls les 3-Roues à deux roues avant sont considérés :
Les 3-Roues à une seule roue avant sont exclus de la modélisation parce qu’ils sont traités par Valkenburgh-Klein-Szostak cité plus bas et parce qu’ils comportent de nombreux désavantages :

-1- Une seule roue avant qui doit prendre presque toute la capacité de freinage.
-2- Plus forte tendance au renversement parce que le freinage augmente les chances de renversement et est toujours plus grand que les accélérations vers l’avant, puisque les trois roues peuvent participer à freiner.
-3- Le moteur pousse dans le dos des passagers en cas de collision frontale.
-4- Le centre de gravité est derrière le centre de pression aérodynamique, ce qui est moins stable à haute vitesse.
-5- La pleine largeur du véhicule est derrière le conducteur plutôt que devant, ce qui facilite moins sa visibilité de la largeur du véhicule dans le trafic serré.

C) Analyses mathématiques et tests pratiques à effectuer :
Une foule d’analyses mathématiques et de tests pratiques ont été développés pour évaluer la sécurité des véhicules à circuler sur les routes. La SAE (Society of Automotive Engineers) regorge d’articles sur ces tests et analyses. On en trouve encore plus en fouillant un peu avec l’Internet. Entre beaucoup d’autres, on trouve des : 

Analyses mathématiques :
– Détermination de la position du centre de gravité.
– Marge de sécurité contre le renversement.
– Analyses dynamiques incluant des milliers de paramètres du véhicule.
– Analyses dynamiques de véhicules lors de collisions.

Tests pratiques :
– Plateau de renversement (Tilt-Test).
– Cercle à rayon constant (‘Constant radius circle’).
– Lâché du volant-guidon (‘Free returnability’).
– Manoeuvre d’évitement ou de changement de voie – Test de la baïonette. (Emergency lane change, Moose Test ou Elk Test).
– Manœuvre en «hameçon» (Double braquage asymétrique opposé ou NHTSA NCAP Fishook Maneuver).
– Relâchement de l’accélérateur (‘Dropped throttle’)
– Distances de freinage.

Une entreprise sérieuse produisant des 3-Roues, se doit d’effectuer de tels tests et analyses pour s’assurer de la sécurité de ses produits. Cependant, puisque les 3-Roues présentent un risque particulier de renversement dans les courbes, il apparaît nécessaire de s’assurer avant tout autre test ou analyse, qu’un 3-Roues offre une sécurité contre ce renversement dans les courbes.

D) Exigences des Règlements sur la sécurité des véhicules automobiles du Canada :
Une première analyse de la sécurité contre le renversement consiste à s’assurer que le centre de gravité soit suffisamment bas par rapport à sa distance de la ligne de renversement du 3-Roues, tel que décrit à la section Analyse visuelle simple.

Tel qu’indiqué dans cette section, les nouveaux Règlements sur la sécurité des véhicules automobiles du Canada exigent selon la Norme 505 que le centre de gravité ne soit pas plus haut que 1,5 fois la distance du centre de gravité à la ligne de renversement du 3-Roues. Cette loi est peut-être un bon début, mais tel qu’aussi indiqué dans cette section Analyse visuelle simple, ce n’est pas suffisant pour s’assurer de la sécurité contre le renversement d’un 3-Roues. Un constructeur sérieux de 3-Roues ne peut pas se contenter d’une évaluation aussi simple de la sécurité de son produit, car il risque d’être poursuivi pour avoir mis en vente un produit présentant un risque de renversement avec blessures conséquentes.

E) Étude de Valkenburgh-Klein-Szostak sur la stabilité des 3-Roues contre le renversement :
Une meilleure analyse a été développée pour le compte de la NHTSA américaine (National Highway Traffic Safety Administration) :

« Evaluation of Electric and Hybrid 3-Wheeled Vehicles for Handling and Stability », Paul G. Van Valkenberg, Richard H, Klein, Henry T. Szostak, System Technology Inc. 13766 South Hawthorne Boulevard, Hawthorne, CA 90250, Contract No. DOT HS-9-02309, Sept 1981, 115 pages.

Essentiellement, cette analyse consiste à:

– Étape 1: Calculer la capacité des pneus à générer des accélérations longitudinales Ax/g et latérales Ay/g s’appliquant sur le centre de gravité d’un 3-Roues,
– Étape 2: Calculer les limites d’accélérations longitudinales Ax/g et latérales Ay/g du centre de gravité au-delà desquelles il y a renversement du 3-roues,
– Étape 3: Puis s’assurer que les limites où il y a renversement dépassent la capacité des pneus, de sorte que les pneus glissent avant que le véhicule ne se renverse.

F) Modélisation de la capacité des pneus :
Plusieurs auteurs considèrent que les coefficients de friction longitudinal CfX et latéral CfY des pneus contre le sol, obéissent à une loi ‘elliptique’ d’adhérence suivant la figure à droite :

 Selon Valkenburgh-Klein-Szostak cité ci-dessus, à la page 60 :  Cfx = 0,85  et  CfY = 0,75

 Selon « Race Car Vehicle Dynamics », William F. Milliken, Douglas L. Milliken, SAE International, SAE R-146, 1995:

– P. 27:  CfY = 1,1 max pour un P215/60 R15 Goodyear Eagle GT-S (shaved for racing) 31 psi et CfY s’élève jusqu’à 1,8 pour un ‘Grand Prix tire’ sous faible charge.
– P. 58:  Cfx = CfY = 1,247  « Based on test data of Sakai for small passenger car tire.  »
– P. 76:  Pour un P215/60 R15 Goodyear Eagle GT-S (shaved for racing),  CfY = 0,983 à charge normale, jusqu’à 1,122 à charge faible.

G) Modélisation ‘monocycle’ de Valkenburgh-Klein-Szostak :
Pour réaliser l’Étape 1 ci-dessus de calcul de la capacité des pneus, Valkenburgh-Klein-Szostak ne se soucie pas de l’orientation réelle gauche-droite des roues. On considère simplement que les trois roues d’un 3-Roues à une ou deux roues avant, agissent suivant leur capacité ‘elliptique’, tel qu’on le voit sur les deux premières figures à gauche ci-dessous. Ces pneus permettent donc de générer des accélérations longitudinales Ax/g (de freinage ou d’accélération) et latérales Ay/g (centrifuges / centripètes) du centre du gravité. Ainsi, c’est comme si ces 3-Roues étaient remplacés par une seule roue et étaient considérés comme un ‘monocycle’, tel que suivant la troisième figure à droite ci-dessous :

Cette hypothèse est valable pour le cas où les trois roues participent idéalement aux accélérations longitudinales Ax/g et latérales Ay/g du centre de gravité, comme c’est le cas lorsqu’on analyse les accélérations latérales combinées au freinage longitudinal, puisque les trois roues peuvent participer à ces accélérations et décélérations.

Pour ce qui est des accélérations latérales combinées aux accélérations longitudinales vers l’avant, il est peu probable de réussir à produire un 3-Roues à traction intégrale et à prix bas. La traction est soit à l’avant seulement, ou soit à l’arrière seulement (propulsion arrière). On ne peut donc pas utiliser cette hypothèse d’une limite elliptique appliquée sans discernement aux trois roues.

Il faut donc améliorer la modélisation de Valkenburgh-Klein-Szostak afin de déterminer les couples d’accélérations latérales Ay/g et longitudinales Ax/g maximales que le véhicule peut subir. C’est d’autant plus important que ce sont surtout les 3-Roues à deux roues avant qui sont considérés sur le présent site et que pour ces 3-Roues, ce sont les accélérations vers l’avant Ax/g, plutôt que le freinage, qui risquent de causer des problèmes de renversement lorsqu’elles se combinent à des accélérations latérales Ay/g.

H) Modélisation suivant le critère du Glissement de la Roue Avant Interne (GRAI) :
Si un 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices accélère en même temps qu’il tourne vers la gauche comme sur la figure à droite, la roue avant gauche interne à la courbe sera allégée à cause du transfert de poids vers la roue avant droite extérieure à la courbe (dû à l’accélération latérale) et à cause du transfert de poids vers la roue arrière (dû à l’accélération longitudinale).

Donc avant même que le 3-Roues ne puisse être renversé, la roue avant gauche interne à la courbe pourra être trop allégée pour supporter des accélérations élevées, ce qui réduira les chances de renverser le 3-Roues. La marge de sécurité contre le renversement de ce 3-Roues sera donc plus élevée que ce que prévoit la modélisation de type ‘monocycle’ de Valkenburgh-Klein-Szostak ci-dessus.

La roue arrière, elle, ne risque pas de déraper puisqu’elle ‘reçoit’ proportionnellement plus de poids à cause du transfert de poids vers l’arrière et puisqu’elle ne participe pas à l’accélération vers l’avant du véhicule. On peut d’ailleurs constater que les autos à traction avant et le 3-Roues Coop-2000 (décrit à la section 3. Configurations possibles et exemples de ce nouveau 3-Roues) sont tous ‘lourds’ du devant et ont leurs pneus avant qui glissent (‘plowing’) tout droit lorsqu’on tente d’accélérer en même temps qu’on tourne.

Ainsi pour réaliser l’Étape 1 ci-dessus de calcul de la capacité des pneus, la modélisation considérera que les valeurs d’accélération latérale Ay/g combinée à l’accélération vers l’avant Ax/g, seront limitées par la capacité ‘elliptique’ du pneu avant interne à la courbe qui est ‘délesté’, ou le Glissement de la Roue Avant Interne à la courbe (symbolisé par les lettres GRAI dans la modélisation de la section suivante).

I) Modélisation pour un 3-Roues à moteur-arrière propulsion-arrière :
Le Scorpion, le T-Rex, le Cyclone et le G-Max, présentés à la section Single-Rear-Wheel 3-Wheelers, sont à moteur-arrière propulsion-arrière. Il ne peut donc pas y avoir de Glissement de la Roue Avant Interne qui puisse limiter le risque de renversement.

Au contraire pour ces 3-Roues, le transfert de poids sur la roue arrière augmente la force de propulsion que peut générer la roue arrière, ce qui augmente encore davantage ce transfert de poids sur la roue arrière et cette force de propulsion générée par la roue arrière. Dans ce cas, la roue avant gauche intérieure à la courbe peut se soulever et entraîner un renversement devant les véhicules qui s’en viennent en sens inverse.

On peut tenter d’avancer le centre de gravité pour l’approcher des roues avant qui sont seules à empêcher un renversement et pour diminuer le poids sur la roue arrière (la grandeur de l’ellipse de traction ou propulsion de cette roue arrière). On peut ainsi réduire le risque de trop grande accélération longitudinale et le risque de renversement en accélération.

Mais si la traction pneu-sol à l’arrière est réduite, un moteur très puissant de moto conventionnelle à deux roues ou un moteur très puissant de motoneige peut encore plus facilement faire déraper la roue arrière et entraîner un tête-à-queue, non seulement sur chaussée mouillée, mais même sur chaussée sèche.

Quoiqu’il en soit, la modélisation considère que dans le cas où l’accélération latérale Ay/g est nulle, le pneu arrière seul fournit toute l’accélération longitudinale Ax/g. À mesure que l’accélération latérale augmente, le couple d’accélérations longitudinale Ax/g et latérale Ay/g sera donc limité par la capacité ‘elliptique’ de ce pneu arrière, puisque les pneus avant ne subissent qu’une accélération latérale faible au début. Bien sûr, l’accélération longitudinale transfert du poids à l’arrière, ce qui lui permet d’être proportionnellement plus élevée.

Cependant, le transfert de poids sur l’arrière augmente la capacité du pneu arrière mais diminue la capacité des pneus avant. Il est ainsi possible que cette capacité des pneus avant soit réduite au point de ne même plus être capable de supporter l’accélération latérale sur l’avant.

Dans le cas où c’est plutôt l’accélération longitudinale Ax/g qui est nulle, de sorte que l’accélération latérale Ay/g est maximale, plus l’accélération longitudinale augmentera (parce que le pneu arrière pousse de plus en plus fort), plus l’avant sera délesté à cause du transfert de poids sur l’arrière, et moins les pneus avant pourront supporter une accélération latérale élevée. Ceci permet de modéliser par une droite limite pour l’avant, ces accélérations latérale et longitudinale maximales que le véhicule peut subir. Dépendamment du poids supporté par l’avant et l’arrière, il est possible que ce soit cette droite qui limite l’avant ou la courbe elliptique qui limite l’arrière. La plus faible de l’une ou l’autre de ces deux limites déterminera la limite des pneus utilisée pour déterminer la marge de sécurité contre le renversement en courbe.

Noter qu’à mesure que la roue avant interne à la courbe se délestera, la roue externe se chargera d’avantage. Donc la capacité du pneu externe surchargé plafonnera ou ‘saturera’ plus rapidement. Ainsi, l’avant devrait perdre de la traction latérale plus rapidement que l’arrière. Mais pour simplifier et tenir compte du pire cas, on considérera que l’ensemble des deux pneus avant conserve la même capacité totale, proportionnellement à la charge supportée.

Ainsi pour réaliser l’Étape 1 ci-dessus de calcul de la capacité des pneus, la modélisation considérera que les valeurs d’accélération latérale Ay/g combinée à l’accélération vers l’avant Ax/g, seront limitées par la capacité ‘elliptique’ du pneu arrière pour les Ax/g élevées et par la limite de poids sur la roue avant externe à la courbe pour les Ax/g faibles ou  Ay/g élevées.

J) Orientations des roues avant :
Pour simplifier la modélisation, l’orientation réelle des roues n’est pas considérée et on modélise les pneus comme ne générant pas de perte mécanique due au glissement latéral (‘Slip angle’) ou au glissement longitudinal (‘Slip ratio’). Donc, on ne considère pas les pertes par dérapage latéral et longitudinal (‘Plowing’) des pneus. On considère simplement que la capacité de traction latérale et traction-propulsion longitudinale des pneus suit la courbe d’une ellipse, conformément à Valkenburgh-Klein-Szostak et autres auteurs.

Aussi, on considère que les trois pneus fournissent la traction latérale à la partie de la masse du véhicule supportée par chaque pneu. Mais on considère que seuls les pneus avant fournissent de la traction longitudinale à tout le véhicule dans le cas des 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices, et seul le pneu arrière fournit de la propulsion longitudinale à tout le véhicule dans le cas des 3-Roues à moteur-arrière propulsion-arrière.

Bien sûr, c’est une approximation. En réalité, l’accélération latérale sera presque toujours encore un peu plus faible que ce qui est prévu par la limite ‘elliptique’, parce qu’il n’est pas possible de s’assurer que les pneus avant soient toujours tournés de la façon optimale qui assure que chacune des deux roues avant fournisse son maximum de traction longitudinale et latérale. L’un des deux pneus avant sera ainsi presque toujours surchargé par rapport à l’autre et limitera les accélérations. Ainsi, le cas théorique considéré est le pire cas et inclus un petit facteur de sécurité pour les pneus avant, autant pour les 3-Roues à traction avant que ceux à propulsion arrière.

Aussi, il se pourrait que le 3-Roues tourne au plus serré, près de son rayon de braquage minimal. Dans ce cas, tout le véhicule pourrait tourner à vitesse angulaire constante (Radians/seconde) avec les roues avant plus éloignées que la roue arrière, par rapport au centre de rotation instantané. La charge sur les pneus avant serait alors proportionnellement plus élevée que sur le pneu arrière, ce qui se traduirait par de moins grandes accélérations Ax/g et Ay/g, appliquées sur le centre de gravité du véhicule. La modélisation exagère donc légèrement ces accélérations fournies par les pneus. Ainsi, c’est comme si ces 3-Roues bénéficiaient d’un certain facteur de sécurité additionnel.

Pour mieux visualiser, on peut imaginer une ‘station wagon’ américaine des années 1960, 70 et 80 ou une longue limousine américaine qui tourne suivant son rayon minimal de braquage. Il est évident que dans ces cas, les roues avant vont déraper sous l’effort, bien avant les roues arrières. De même, il est bien connu que les autos à traction avant sont sous-vireuses.

Plus spécifiquement pour les 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices :

Si la marge de sécurité contre le renversement est minimale au moment où la roue avant interne à la courbe perd sa traction à cause d’une accélération vers l’avant en même temps qu’on tourne, on pourrait craindre le cas où à ce moment, on braquerait encore plus les roues. Mais dans ce cas, on se retrouverait à introduire une composante de freinage qui diminuerait les chances de renversement. Si on redressait les roues, on diminuerait l’accélération latérale. Si on relâchait l’accélérateur, on augmenterait à nouveau le freinage ce qui diminuerait à nouveau les chances de renversement. Ce ne sont donc pas des cas plus dangereux.

Plus spécifiquement pour les 3-Roues à deux roues avant et moteur-arrière propulsion-arrière :

Dans les cas du Scorpion, du T-Rex, du Cyclone ou du G-Max, le pneu arrière devra pousser plus fort sur les pneus avant qui dérapent latéralement mais aussi longitudinalement (‘plowing’). Il sera donc plus proche de sa limite d’adhérence et pourra déraper soudainement et ainsi générer un tête-à-queue. Ce risque de tête-à-queue est évidemment plus élevé sur chaussée mouillée. D’ailleurs, les 3-Roues Morgan (‘Morgan Trike’) des années 1930 étaient connus pour leur risque de tête-à-queue sur chaussée mouillée. Donc pour ces 3-Roues à moteur-arrière propulsion-arrière, le risque de renversement peut être abaissé par la surcharge des pneus avant semblable à celle des ‘station wagon’ et limousines américaines, mais cette même surcharge entraînera une augmentation proportionnelle du risque de tête-à-queue.

K) Piquage du nez des 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices :
Tel qu’exposé à la section Simple visual analysis, le centre de gravité est très avancé dans le cas de ces 3-Roues à deux roues avant motrices-directrices. Il peut donc y avoir ‘renversement’, ‘basculement’, ‘tanguage’ ou ‘piquage du nez’ vers l’avant. Une entreprise sérieuse se doit donc de s’assurer d’un minimum de sécurité contre le piquage du nez. Le risque de piquage du nez étant maximal en cas de freinage en ligne droite, il s’agit alors de simplement s’assurer que la décélération maximale où il y a piquage du nez, soit plus grande que la décélération maximale permise par les pneus. En freinage maximal, les pneus pourront ainsi glisser sur le sol sans qu’il y ait basculement vers l’avant.