The present section presents the mathematical calculations of safety margins against rollover, in the case of 3-Wheelers with two front wheels but with a rear engine driving the rear wheel.
As in previous section Stability of 3-Wheelers with two driving-steering front wheels, these mathematical calculations are also based on and go beyond the development presented in the document:
“Evaluation of Electric and Hybrid 3-Wheeled Vehicles for Handling and Stability“, Paul G. Van Valkenberg, Richard H, Klein, Henry T. Szostak, System Technology Inc. 13766 South Hawthorne Boulevard, Hawthorne, CA 90250, Contract No. DOT HS-9-02309, Sept 1981, 115 pages.
On the other hand and due to being a rear-wheel-drive, there is no slippage of the interior front wheel that may limit the rollover risks. On the contrary and as exposed in this previous section Stability of 3-Wheelers with two driving-steering front wheels, the weight transfer on the rear driving wheel increases the rollover risks.
SECTION UNDER CONSTRUCTION.
This section has not yet been completed in English. The reader may consider the old French version that follows below:
A) Paramètres du 3-Roues de type Scorpion, T-Rex, Cyclone et G-Max:
Le Scorpion est équipé d’un moteur de moto BMW. Le T-Rex a été équipé de moteurs1100cc de moto Kawasaki ZX11, semblables à celui duG-Max. Et le Cyclone est équipé d’un moteur de motoneige.
Nous ne connaissons pas les caractéristiques exactes de ces quatre 3-Roues, mais le 3-Roues utilisé dans les calculs sera considéré comme étant de type T-Rex ou G-Max, qui sont semblables. Donc :
– Pour utiliser un chiffre ‘rond’, le rapport de poids avant/arrière sera considéré de 50% / 50% avec un conducteur moyen du 50ième percentile de mâle américain qui est seul à bord. De plus et encore pour utiliser un chiffre ‘rond’, le poids sera considéré comme étant approximativement de 454Kg ( 1000Lbf ), par rapport à un poids plus bas tel qu’annoncé sur le site du T-Rex ( 408,6Kgf = 900Lbf ‘Dry Weight’) et un poids plus élevé du G-Max (d’environ 567,5Kgf = 1250Lbf).
– L’empattement et la Voie-Track seront considérés comme étant de 2286mm (90inch tel qu’annoncé pour le T-Rex) et 1781mm (Largeur annoncée du T-Rex de 1981mm = 78inch, moins 200mm au centre des pneus).
Ces valeurs peuvent certainement être inexactes, mais de toutes façons les calculs et graphiques présentés doivent être considérés comme des approximations qui donnent un aperçu général. Ils ne peuvent remplacer une analyse rigoureuse avec les ‘vrais’ paramètres des ‘vrais’ véhicules.
Aussi, ces 3-Roues sont des véhicules performants, leurs pneus sont donc aussi performants. Ainsi, leurs coefficients de friction (Pour lesquels les lettres ‘Trex’ sont ajoutées aux noms de variables pour l’étude des 3-Roues similaires au T-Rex, dans toutes les équations ci-dessous) sont de l’ordre de :
CfXTrex = 1 et CfYTrex = 1 Versus Valkenburgh-Klein-Szostak où: CfX = 0,85 et CfY = 0,75
Noter que les 3-Roues utilisent habituellement des pneus d’autos qui sont nettement plus lourdes. Ces pneus sont donc chargés faiblement dans le cas de ces 3-Roues. Selon Milliken, les coefficients de friction sont encore plus élevés lorsque les pneus sont peu chargés. Il est ainsi possible que les marges de sécurité contre le renversement soient plus faibles que ce qui est calculé.
B) Courbe de (Ay/g)max en fonction de (Ax/g), au-delà de laquelle il y a renversement:
Comme dans le cas de la section précédente Stability of 3-Wheelers with two driving-steering front wheels (et dans le cas de Valkenburgh-Klein-Szostak), on a que:
Force Latérale sur le CG = PVehiOccu(J) x (Ay/g)
Force Logitudinale sur le CG = PVehiOccu(J) x (Ax/g)
Donc les forces perpendiculaires à l’axe de renversement sont données par:
(Force Latérale) * COS(Gamma) + (Force Longitudinale) * SIN(Gamma) =
PVehiOccu(J) * (Ay/g) x (EmpattementL / (HYP.)) + PVehiOccu(J) * (Ax/g) * ((VoieT/2) / (HYP.))
D’où le moment tendant à renverser le véhicule:
Moment de Renversement = [ PVehiOccu(J) * (Ay/g) * (EmpattementL / (HYP.)) + PVehiOccu(J) *
(Ax/g) * ((VoieT/2) / (HYP.)) ] * ZVehiOccu(J)
Et le moment de retenue par le poids est donné par:
Moment de Retenue = PVehiOccu(J) * C
Mais ici, la valeur de C est différente à cause du désaxement du CG causé par le conducteur seul qui n’est pas au centre gauche-droite du véhicule. On a:
C1 / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) = SIN(Gamma) = ((VoieT/2) / (HYP.))
Donc:
C1 = [ (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * (VoieT/2) / (HYP.) ]
Or:
C = C1 – YVehiOccu(J) * COS(Gamma) = C1 – YVehiOccu(J) * ( EmpattementL / (HYP.) )
D’où:
C = [ (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * (VoieT/2) / (HYP.) ] – YVehiOccu(J) * ( EmpattementL / (HYP.) )
De sorte que:
Moment de Retenue = PVehiOccu(J) * [ (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * ((VoieT/2) / (HYP.)) ] +
– PVehiOccu(J) * YVehiOccu(J) * ( EmpattementL / (HYP.) )
La condition limite a lieu lorsque les moments de retenue et de renversement sont égaux. Si on élimine immédiatement PVehiOccu(J) et (HYP.) des deux côtés de l’équation, on obtient:
(Ay/g) * EmpattementL * ZVehiOccu(J) + (Ax/g) * (VoieT/2) * ZVehiOccu(J) =
(EmpattementL – XVehiOccu(J)) * (VoieT/2) – YVehiOccu(J) * EmpattementL
D’où, suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au T-Rex ou G-Max :
(Ay/g) = { [ EmpattementL – XVehiOccu(J) ] * (VoieT/2) +
– YVehiOccu(J) * EmpattementL +
– (Ax/g) * (VoieT/2) * ZVehiOccu(J) } /
[ EmpattementL * ZVehiOccu(J) ]
(Ay/g) = { [ TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau ] * (TRexVoieT/2) +
– TRexYVehiOccuCondGau * TRexEmpattementL +
– (Ax/g) * (TRexVoieT/2) * TRexZVehiOccuCondGau } /
[ TRexEmpattementL * TRexZVehiOccuCondGau ]
La courbe de (Ay/g)max en fonction de (Ax/g), au-delà de laquelle il y a renversement, est donc une droite.
Dans le cas où (Ax/g) est nulle, on obtient avec (Ay/g)max = AyRenv(J):
AyRenv(J) = { [ EmpattementL – XVehiOccu(J) ] * (VoieT/2) – YVehiOccu(J) * EmpattementL } /
[ EmpattementL * ZVehiOccu(J) ]
Et si (Ay/g) est nulle, on obtient avec (Ax/g) = AxRenv(J), suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au T-Rex ou G-Max :
AxRenv(J) = {[EmpattementL – XVehiOccu(J)]*(VoieT/2) – YVehiOccu(J)*EmpattementL } / [(VoieT/2)*ZVehiOccu(J)]
TRexAxRenvCondSeul = {[TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondSeul]*(TRexVoieT/2) – TRexYVehiOccuCondSeul*TRexEmpattementL} / [(TRexVoieT/2)*TRexZVehiOccuCondSeul]
D’où la pente de la droite limite avant renversement:
Pente = Dérivée [ Ay/g / Ax/g ] = – (TRexVoieT/2) / [ TRexEmpattementL ]
La droite de (Ay/g)max en fonction de (Ax/g), au-delà de laquelle il y a renversement, peut être tracée en bleu sur le graphique ci-dessous dans le cas du 3-Roues de type T-Rex ou G-Max, dont les paramètres ont été donnés plus haut. Sur ce graphique, les axes X et Y sont inversés pour être compatibles avec Valkenburgh-Klein-Szostak, où c’étaient les freinages qui étaient étudiés et placés à la verticale au dessus de l’axe horizontal (des accélérations latérales Ay/g). Donc ici, les accélérations sont à la verticale, mais vers le bas. Aussi, la zone plus à droite de la ligne en bleu est hachurée pour signifier qu’au delà de cette ligne, il y a renversement du véhicule, ce qui est à éviter :
Noter que le graphique ci-dessus ne fait qu’illustrer les calculs présentés dans la présente section et que les graphiques présentés à la section suivante Summary of safety margin calculations, sont plus complets.
C) Selon la capacité des pneus, limite maximale de (Ay/g) en fonction de (Ax/g):
Lorsque l’accélération latérale Ay/g est forte et l’accélération longitudinale Ax/g est nulle, c’est la capacité des pneus avant qui limite cette accélération latérale Ay/g. À partir de ce cas et à mesure que l’accélération longitudinale Ax/g augmente, le poids est transféré vers l’arrière, ce qui diminue le poids sur les roues avant et limite ainsi l’accélération latérale Ay/g maximale que peuvent fournir les pneus avant, suivant la droite en trait rouge ci-dessus.
On peut aussi estimer que lorsque les accélérations latérales Ay/g sont faibles, c’est la ‘capacité elliptique’ d’adhérence du pneu arrière qui limite l’accélération longitudinale Ax/g suivant l’ellipse en trait rouge sur le graphique ci-dessus.
Cette droite rouge et cette ellipse rouge déterminent la capacité maximale des pneus.
Droite en trait rouge d’adhérence des pneus avant dans le cas où l’accélération longitudinale est nulle ou faible :
Dans ce cas, l’accélération latérale est maximale lorsque l’accélération longitudinale est nulle. Elle est alors égale à CfYTrex :
DroiteAccY max = CfYTrex
Et à mesure que l’accélération longitudinale augmente, la charge verticale sur l’avant diminue à cause du transfert du poids sur l’arrière, ce qui diminue l’accélération latérale permise par les pneus avant:
[(DroiteAccY en g) * (Masse avant)] = [CfYTrex * (Poids net avant)] = [CfYTrex * (Poids statique avant – Transfert poids)]
DroiteAccY = [CfYTrex * ( 1 – Transfert de poids / (Poids statique avant))]
D’où, suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au 3-Roues de type T-Rex ou G-Max:
DroiteAccY = CfYTrex * { 1 – [PVehiOccu(J) * DroiteAccX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL] /
[ PVehiOccu(J) * (EmpattementL – XVehiOccu(J)) / EmpattementL ] }
= CfYTrex * { 1 – [DroiteAccX*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }
DroiteAccY = CfYTrex * [1 – DroiteAccX*TRexZVehiOccuCondGau /(TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau)]
Aussi et à être utilisé un peu plus bas:
Pente de la droite limite d’adhérence des pneus avant =
= Dérivée [ DroiteAccY / DroiteAccX ] = – CfYTrex * TRexZVehiOccuCondGau / (TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau)
Ellipse en trait rouge d’adhérence du pneu arrière dans le cas où l’accélération latérale est nulle ou faible :
On considérera que le Poids sur la Roue Arrière (PRArrN), Nécessaire pour assurer les forces latérales et longitudinales, est donné par la courbe d’une ellipse:
(FArrY / CfYTrex)^2 + (FArrX / CfXTrex)^2 = PRArrN^2
Où:
FArrX = (Traction longitudinale demandée au pneu arrière)
= (Masse totale) * (Accélération longitudinale)
= PVehiOccu(J) * AccArrX
FArrY = (Masse “latérale” à accélérer à l’arrière) * (AccArrY)
= [ PVehiOccu(J) * ( XVehiOccu(J) / EmpattementL )] * (AccArrY)
Ces deux équations dans la précédente donnent:
(PVehiOccu(J) * XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 +
(PVehiOccu(J) * AccArrX / CfXTrex)^2 = PRArrN^2
Ou:
PRArrN = RACINE[ (PVehiOccu(J) * XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 +
(PVehiOccu(J) * AccArrX / CfXTrex)^2) ]
Et on considérera que ce poids doit être égal au Poids sur la Roue Arrière (PRArrF), Fourni par le poids statique et le transfert de poids sur l’arrière:
PRArrF = (Poids statique sur la roue arrière)
+ [ Transfert de poids sur la roue arrière à cause de l’accélération longitudinale AccArrX ]
PRArrF = (PVehiOccu(J) * XVehiOccu(J) / EmpattementL)
+ (PVehiOccu(J) * AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )
D’où:
(Poids sur la Roue Arrière, Nécessaire) = (Poids sur la Roue Arrière, Fourni) =
PRArrN = RACINE[ (PVehiOccu(J) * XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 +
(PVehiOccu(J) * AccArrX / CfXTrex)^2) ] =
PRArrF = (PVehiOccu(J) * XVehiOccu(J) / EmpattementL) + (PVehiOccu(J) * AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )
Où on peut éliminer PVehiOccu(J) et la RACINE carrée, d’où:
(XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 + (AccArrX / CfXTrex)^2) =
= [ (XVehiOccu(J) / EmpattementL) + (AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL ) ]^2
= (XVehiOccu(J) / EmpattementL)^2 + (AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )^2 +
+ 2 * (XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )
D’où:
(AccArrX / CfXTrex)^2) – (AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )^2 – 2 * (XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL ) + (XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J) / EmpattementL)^2 = 0
Et:
[(1/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) / EmpattementL )^2] * AccArrX^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) / EmpattementL * ZVehiOccu(J) / EmpattementL ) * AccArrX +
+ (XVehiOccu(J) / EmpattementL * AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J) / EmpattementL)^2 = 0
Où on peut multiplier par (EmpattementL)^2 pour obtenir:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * AccArrX^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * AccArrX +
+ (XVehiOccu(J) * AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J))^2 = 0
Du type Ay^2 + By + C = 0, de sorte que, suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au 3-Roues de type T-Rex ou G-Max:
AccArrX = { ( 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) +/-
RACINE[ ( 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J))^2 +
– 4*[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2]*[(XVehiOccu(J)* AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J))^2]] }
/ {2 * [(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] }
AccArrX = { (2*TRexXVehiOccuCondGau*TRexZVehiOccuCondGau) +/-
RACINE[ ( 2 * TRexXVehiOccuCondGau * TRexZVehiOccuCondGau)^2 +
– 4*[(TRexEmpattementL/CfXTrex)^2 – (TRexZVehiOccuCondGau )^2]*[(TRexXVehiOccuCondGau* AccArrY / CfYTrex)^2 – (TRexXVehiOccuCondGau)^2]] }
/ {2 * [(TRexEmpattementL/CfXTrex)^2 – (TRexZVehiOccuCondGau )^2] }
Cas particulier où AccArrY est nulle et AccArrX est maximale:
Dans ce cas, on obtient à partir du cas ci-haut où PVehiOccu(J) et la RACINE carrée sont éliminés :
(AccArrX / CfXTrex)^2 =
= [ (XVehiOccu(J) / EmpattementL) + (AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL ) ]^2
AccArrX / CfXTrex =
= (XVehiOccu(J) / EmpattementL) + (AccArrX * ZVehiOccu(J) / EmpattementL )
D’où, suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au 3-Roues de type T-Rex ou G-Max:
AccArrX = (XVehiOccu(J) / EmpattementL) / (1/CfXTrex- ZVehiOccu(J) / EmpattementL)
AccArrX = (TRexXVehiOccuCondGau/TRexEmpattementL)/(1/CfXTrex – TRexZVehiOccuCondGau/TRexEmpattementL)
D) Inclinaisons de la droite limite avant renversement et de la droite limite d’adhérence des pneus avant :
Le graphique présenté plus haut et simplifié ci-dessous permet de définir la marge de sécurité contre le renversement :
MargeContreRenversement = [(Distance de l’origine à la Droite limite avant renversement) / (Dist. de l’origine à l’Intersection limite des pneus) – 1] en pourcent (%)
On voit sur ce graqhique que plus la Droite limite avant renversement est vers la droite et plus la marge de sécurité contre le renversement sera élevée.
D’autre part, si la Droite limite avant renversement est parallèle à la Droite limite d’adhérence des pneus avant, ces deux droites forment des triangles semblables. Dans ce cas, la marge de sécurité contre le renversement sera toujours la même, quelle que soit la droite allant de l’origine à la limite avant renversement, ou quelque soit la position du point Intersection limite renversement le long de la Droite limite avant renversement.
Si la Droite limite avant renversement est plus couchée ou horizontale que la Droite limite d’adhérence des pneus avant, tel que ci-dessus, la marge de sécurité contre le renversement sera de plus en plus faible, à mesure que Ay/g diminuera et Ax/g augmentera.
On peut déterminer le Rapport de la Pente de la Droite limite avant renversement sur la Pente de la Droite limite d’adhérence des pneus avant :
Rapport de la Pente de la Droite limite avant renversement sur la Pente de la Droite limite d’adhérence des pneus avant =
= Pente de la Droite limite avant renversement /
Pente de la Droite limite d’adhérence des pneus avant
= ( Dérivée [ Ay/g / Ax/g ] / Dérivée [ DroiteAccY / DroiteAccX ] )
= ( (T/2) / L ) / ( CFYTrex * ( Z / (L-X) ) )
= T/2 * ( 1 – X / L ) / ( CFYTrex * Z )
= (TRexVoieT / 2 ) * ( 1 – TRexXVehiOccuCondGau / TRexEmpattementL ) / ( 0,75 * TRexZVehiOccuCondGau ) = 1,3825
Donc la Droite limite avant renversement est plus couchée ou horizontale que la Droite limite d’adhérence des pneus avant, tel qu’illustré sur la figure ci-dessus.
Donc la marge de sécurité contre le renversement sera de plus en plus faible à mesure que Ay/g diminuera et Ax/G augmentera, si on ne considère que le glissement latéral des pneus avant. On verra plus loin que ce sera l’inverse dans le cas de la limite ‘elliptique’ du pneu arrière.
Donc la marge de sécurité contre le renversement sera minimale à l’intersection de la Droite limite d’adhérence des pneus avant (ou Droite en trait rouge d’adhérence des pneus avant dans le cas où l’accélération longitudinale est nulle ou faible sur le premier graphique plus haut) avec la limite ‘elliptique’ du pneu arrière (ou Ellipse en trait rouge d’adhérence du pneu arrière dans le cas où l’accélération latérale est nulle ou faible). Il faut donc trouver cette intersection de la Droite limite d’adhérence des pneus avant avec la limite ‘elliptique’ du pneu arrière.
E) Intersection de la Droite limite d’adhérence des pneus avant avec la limite ‘elliptique’ du pneu arrière:
À l’intersection, les (Ax/g) et (Ay/g) seront égales dans les deux cas, à des valeurs qui seront nommées respectivement Ax et Ay. D’où, avec les équations finales des cas généralisés de la section D) ci-dessus :
Équation de la Droite limite d’adhérence des pneus avant :
DroiteAccY = CfYTrex * { 1 – [DroiteAccX*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }
Équation de la limite ‘elliptique’ du pneu arrière :
AccArrX = { ( 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) +/-
RACINE[ ( 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J))^2 +
– 4*[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2]*[(XVehiOccu(J)* AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J))^2]] }
/ {2 * [(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] }
Cette dernière équation a été obtenue de l’équation quadratique:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * AccArrX^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * AccArrX +
+ (XVehiOccu(J) * AccArrY / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J))^2 = 0
Où l’on peut remplacer les accélérations par les valeurs Ax et Ay, d’où:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * Ax^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * Ax +
+ (XVehiOccu(J) * Ay / CfYTrex)^2 – (XVehiOccu(J))^2 = 0
Dans laquelle on peut insérer la valeur de (Ay) donnée par la première équation ci-dessus, en enlevant le (CfYTrex):
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * Ax^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * Ax +
+ XVehiOccu(J)^2 * { 1 – [Ax*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }^2 +
– (XVehiOccu(J))^2 = 0
Ou:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * Ax^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * Ax +
+ XVehiOccu(J)^2 * { 1 +
– 2*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * Ax +
+ *ZVehiOccu(J)^2 / (EmpattementL – XVehiOccu(J))^2 Ax^2 }
– (XVehiOccu(J))^2 = 0
D’où:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * Ax^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * Ax +
+ XVehiOccu(J)^2 +
– 2*XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * Ax +
+ XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J)^2 / (EmpattementL – XVehiOccu(J))^2 * Ax^2
– (XVehiOccu(J))^2 = 0
Où on peut éliminer les deux (XVehiOccu(J)^2), pour obtenir:
[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] * Ax^2 +
+ ( – 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) ) * Ax +
– 2*XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) * Ax +
+ XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J)^2 / (EmpattementL – XVehiOccu(J))^2 * Ax^2 = 0
On peut diviser par (Ax) et regrouper les termes pour obtenir:
{[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] +
+ XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J)^2 / (EmpattementL – XVehiOccu(J))^2 } * Ax +
– 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) +
– 2*XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) = 0
D’où la valeur unique de (Ax/g) = Ax, à l’intersection de la droite limite et de la courbe “elliptique” d’adhérence, suivant les expressions généralisées ou suivant celles propres au 3-Roues de type T-Rex ou G-Max:
Ax = [ 2 * XVehiOccu(J) * ZVehiOccu(J) + 2*XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J)) ] /
{[(EmpattementL/CfXTrex)^2 – (ZVehiOccu(J) )^2] + XVehiOccu(J)^2*ZVehiOccu(J)^2 / (EmpattementL – XVehiOccu(J))^2}
Ax = 2*[TRexXVehiOccuCondGau*TRexZVehiOccuCondGau +
TRexXVehiOccuCondGau^2*TRexZVehiOccuCondGau/(TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau) ] /
{ (TRexEmpattementL/CfXTrex)^2 – (TRexZVehiOccuCondGau )^2 +
+ [TRexXVehiOccuCondGau*TRexZVehiOccuCondGau/(TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau)]^2}
Et la valeur correspondante de (Ay/G) = Ay, à l’intersection de la droite limite et de la courbe “elliptique” d’adhérence, suivant la première équation de cette section:
Ay = CfYTrex * { 1 – [ Ax *TRexZVehiOccuCondGau / (TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondGau)] }
E) Marge de sécurité, pour n’importe quelle (XRenv) de la droite avant renversement :
– L’équation plus haut de la droite limite avant Renversement, était donnée en fonction des constantes calculées: (AxRenv) et (AyRenv):
XRenv = AxRenv – (AxRenv/AyRenv) * YRenv Ou encore: YRenv = (AxRenv – XRenv) * (AyRenv/AxRenv)
– La droite allant de l’Origine jusqu’à n’importe quel point de la droite limite avant Renversement, est donnée par:
YDrOri = ( YRenv / XRenv ) * XDrOri Ou encore: XDrOri = ( XRenv / YRenv ) * YDrOri
– Équation plus haut de la droite limite d’adhérence des pneus:
DroiteAccY = CfYTrex * { 1 – [DroiteAccX*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }
– L’intersection des deux dernières droites ci-haut, sera obtenue au point où XInt = XDrOri = DroiteAccX et YInt = YDrOri = DroiteAccY . Ainsi, on peut insérer les secondes équations dans la troisième pour obtenir (YInt) en fonction de n’importe quel point de la droite limite avant Renversement (XRenv,YRenv):
YInt = CfYTrex * { 1 – [XInt*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }
= CfYTrex * { 1 – [( XRenv / YRenv )*YInt*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))] }
= CfYTrex* – [CfYTrex*( XRenv / YRenv )*YInt*ZVehiOccu(J) / (EmpattementL – XVehiOccu(J))]
= CfYTrex* – [CfYTrex*XRenv*ZVehiOccu(J)/YRenv/(EmpattementL – XVehiOccu(J))] * YInt
YInt = CfYTrex / {1 + [CfYTrex*XRenv*ZVehiOccu(J)/YRenv/(EmpattementL – XVehiOccu(J))]}
Et on peut insérer la version droite de la première équation, dans la dernière ci-dessus, pour obtenir (YInt) en fonction de n’importe quelle (XRenv) de la droite limite avant Renversement:
YInt = CfYTrex/{1 + [CfYTrex*XRenv*ZVehiOccu(J)/[(AxRenv – XRenv)/(AyRenv/AxRenv)]/(EmpattementL – XVehiOccu(J))]}
YInt = CfYTrex / {1 + [CfYTrex*XRenv*ZVehiOccu(J)*(AxRenv/AyRenv) /(AxRenv – XRenv) /(EmpattementL – XVehiOccu(J))]}
YInt = CfYTrex / {1 + [CfYTrex*XRenv*ZVehiOccu(J)*AxRenv /AyRenv /(AxRenv – XRenv) /(EmpattementL – XVehiOccu(J))]}
Et (XInt) est obtenue en insérant la valeur obtenue ci-dessus de (YInt) dans la version de droite de la 2ème équation ci-dessus de la droite partant de l’origine:
XInt = ( XRenv / YRenv ) * YInt
D’où la marge de sécurité contre le renversement:
TRexMarge = [(Distance de l’origine à la droite avant Renversement) / (Dist. Origine à Intersection ) – 1]
= {[ RACINE( XRenv^2 + YRenv^2 ) / RACINE( XInt^2 + YInt^2 ) ] – 1 }
D’où les équations, suivant les expressions propres au 3-Roues de type T-Rex ou G-Max, à partir de n’importe quelle variable (XRenv) de la droite limite de Renversement:
YRenv = (TRexAxRenvCondSeul – XRenv) * (TRexAyRenvCondSeul/TRexAxRenvCondSeul)
YInt = CfYTrex / {1 + [CfYTrex*XRenv*TRexZVehiOccuCondSeul*TRexAxRenvCondSeul *
/TRexAyRenvCondSeul /(TRexAxRenvCondSeul – XRenv) /(TRexEmpattementL – TRexXVehiOccuCondSeul)]}
XInt = ( XRenv / YRenv ) * YInt
TRexMarge = {[ RACINE( XRenv^2 + YRenv^2 ) / RACINE( XInt^2 + YInt^2 ) ] – 1 }
F) Marge de sécurité dans le cas de l’intersection de la droite avant renversement et de la limite ‘elliptique’ d’adhérence du pneu arrière:
Pour ce cas, il faut inverser le calcul et trouver les XRenv / YRenv à partir des XInt / YInt, qui sont égales aux Ax / Ay de l’intersection de la droite limite et de la courbe “elliptique” d’adhérence, qu’on a calculées préalablement.
On insère d’abord les XInt / YInt dans la partie gauche de la 2ème équation de la section précédente E) Marge de sécurité, pour n’importe quelle (XRenv) de la droite avant renversement.
Ainsi, dans l’équation de la droite allant de l’Origine à la droite limite avant renversement, de la partie gauche de la 2ème équation de cette section précédente, on insère ces Ax et Ay de l’intersection de la droite avec l’ellipse :
YDrOri = ( YRenv / XRenv ) * XDrOri
Ay = ( YRenv / XRenv ) * Ax
D’où YRenv de la droite limite avant renversement, en fonction des Ax / Ay:
YRenv = Ay * XRenv / Ax
Qu’on insére dans la partie gauche de la 1ère équation de la section précédente, de la droite limite avant renversement:
XRenv = AxRenv – (AxRenv/AyRenv) * YRenv
XRenv = AxRenv – (AxRenv/AyRenv) * Ay * XRenv / Ax
XRenv + (AxRenv/AyRenv) * Ay * XRenv / Ax = AxRenv
XRenv * ( 1 + AxRenv*Ay/AyRenv/Ax ) = AxRenv
D’où la valeur de XRenv de la marge de sécurité minimale qui est obtenue à l’intersection de la droite avant renversement et de la limite ‘elliptique’ d’adhérence du pneu arrière :
XRenv = AxRenv / ( 1 + AxRenv*Ay/AyRenv/Ax )
Et pour (YRenv), on utilise la partie droite de la 1ère équation de la section précédente. D’où la valeur de YRenv de la marge de sécurité minimale qui est obtenue à l’intersection de la droite avant renversement et de la limite ‘elliptique’ d’adhérence du pneu arrière :
YRenv = (AxRenv – XRenv) * (AyRenv/AxRenv)
Les variables peuvent être mieux identifiées sur le graphique ci-dessous :
